Cálculo Exemplos

$y = 4 x - 3 x^{2}$

Etapa 1

Reordene $4 x$ e $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 4 x$

Etapa 2

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 6 x + 4$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x + 4 = 0$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 6 x = - 4$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- 6 x = - 4$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- 6 x = - 4$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 6}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $- 6$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$x = \frac{- 2 (2)}{- 6}$

Etapa 4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Etapa 4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ em $x = \frac{2}{3}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2}{3}) = - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{4}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.4.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (- 1) (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.4.2

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2}{3}) = - 1 (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.5

Reescreva $- 1 (\frac{4}{3})$ como $- (\frac{4}{3})$ .

$f (\frac{2}{3}) = - (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $4 (\frac{2}{3})$ .

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Etapa 5.2.1.6.1

Combine $4$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Etapa 5.2.1.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3}$

Etapa 5.2.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4 + 8}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 4$ e $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 6

A reta tangente horizontal na função $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ é $y = \frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Etapa 7