Cálculo Exemplos

$y = \sin (x)$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = \sin (x)$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\cos (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \sin (x)$ em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = \sin (x)$ em $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2} + π$ na expressão.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 5.2.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Etapa 5.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Etapa 5.2.3.2

Some $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 5.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5.2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Etapa 5.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Etapa 5.2.7

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 6

A reta tangente horizontal na função $f (x) = \sin (x)$ é $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Etapa 7