Cálculo Exemplos

$y = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (5 x) + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2.5

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 \cos (5 x) - 2 \sin (2 x)$

Etapa 3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 0.27239707, - 0.36860767, - 0.86117382, 1.01576505, - 1.57079632, 1.57079632, 2.12582759$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ em $x = 0.27239707$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0.27239707$ na expressão.

$f (0.27239707) = \sin (5 (0.27239707)) + \cos (2 (0.27239707))$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $5$ por $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (2 (0.27239707))$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$ .

$\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ em $x = - 0.36860767$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.36860767$ na expressão.

$f (- 0.36860767) = \sin (5 (- 0.36860767)) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$ .

$\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Etapa 6

Resolva a função original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ em $x = - 0.86117382$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.86117382$ na expressão.

$f (- 0.86117382) = \sin (5 (- 0.86117382)) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$ .

$\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Etapa 7

Resolva a função original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ em $x = 1.01576505$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.01576505$ na expressão.

$f (1.01576505) = \sin (5 (1.01576505)) + \cos (2 (1.01576505))$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $5$ por $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2 (1.01576505))$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$ .

$\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Etapa 8

Resolva a função original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ em $x = - 1.57079632$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.57079632$ na expressão.

$f (- 1.57079632) = \sin (5 (- 1.57079632)) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Etapa 8.2.2

A resposta final é $\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$ .

$\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Etapa 9

Resolva a função original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ em $x = 1.57079632$ .

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.57079632$ na expressão.

$f (1.57079632) = \sin (5 (1.57079632)) + \cos (2 (1.57079632))$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Multiplique $5$ por $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (2 (1.57079632))$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $2$ por $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Etapa 9.2.2

A resposta final é $\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$ .

$\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Etapa 10

Resolva a função original $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ em $x = 2.12582759$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $2.12582759$ na expressão.

$f (2.12582759) = \sin (5 (2.12582759)) + \cos (2 (2.12582759))$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Multiplique $5$ por $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (2 (2.12582759))$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $2$ por $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Etapa 10.2.2

A resposta final é $\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Etapa 11

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ são $y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Etapa 12