Cálculo Exemplos

$y = 8 x - x^{2}$

Etapa 1

Reordene $8 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 8 x$

Etapa 2

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 8 x$

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x + 8 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$- 2 x + 8$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + 8 = 0$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 8$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 8$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 8$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 2$ .

$x = 4$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = - x^{2} + 8 x$ em $x = 4$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 8 (4)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 8 (4)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f (4) = - 16 + 8 (4)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $8$ por $4$ .

$f (4) = - 16 + 32$

Etapa 5.2.2

Some $- 16$ e $32$ .

$f (4) = 16$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 6

A reta tangente horizontal na função $f (x) = - x^{2} + 8 x$ é $y = 16$ .

$y = 16$

Etapa 7