Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 3 x + 2$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x + 2$

Etapa 2

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 3 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4 x^{3} - 3$ e $0$ .

$4 x^{3} - 3$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x^{3} = 3$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $4 x^{3} = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.3.4

Some $1$ e $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 3.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.3.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.3.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 3.4.3.5.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 3.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 3.4.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 3.4.4.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 3.4.4.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.4.4.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.4.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Etapa 3.4.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Etapa 3.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ em $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ como $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.2.2

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.2.3

Reescreva $1296$ como $6^{3} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.3.1

Fatore $216$ de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.2.3.2

Reescreva $216$ como $6^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.5

Combine $- 3$ e $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Etapa 4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Etapa 4.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Etapa 4.2.5.1.2

Subtraia $12 \sqrt[3]{6}$ de $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Etapa 4.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Etapa 4.2.6

A resposta final é $- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ é $y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Forma decimal:

$y = - 0.04426066 \dots$

Etapa 7