Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{1}{x}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + \frac{1}{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 2.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2.2

Multiplique cada termo em $2 x + \frac{1}{x} = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.2.1

Multiplique cada termo em $2 x + \frac{1}{x} = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Etapa 2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 2.3.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 2.3.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.3.4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.3.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.3.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.3.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.3.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.3.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.3.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

Não é possível encontrar uma reta tangente em um ponto imaginário. O ponto em $x =$ não existe no sistema de coordenadas real.

Não é possível encontrar uma tangente da raiz

Etapa 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

Etapa 5