Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 11 x - 15$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 11 x - 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [11 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $11$ por $1$ .

$2 x + 11 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 11 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $2 x + 11$ e $0$ .

$2 x + 11$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 11 = 0$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 11$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 x = - 11$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 11$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{11}{2}$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = x^{2} + 11 x - 15$ em $x = - \frac{11}{2}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{11}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{11}{2}) = {(- \frac{11}{2})}^{2} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{11}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{11}{2})}^{2} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{11}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{11^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = 1 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $\frac{11^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{11^{2}}{2^{2}} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{2^{2}} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $11 (- \frac{11}{2})$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - 11 (\frac{11}{2}) - 15$

Etapa 3.2.1.6.2

Combine $- 11$ e $\frac{11}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} + \frac{- 11 \cdot 11}{2} - 15$

Etapa 3.2.1.6.3

Multiplique $- 11$ por $11$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} + \frac{- 121}{2} - 15$

Etapa 3.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121}{2} - 15$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $\frac{121}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - (\frac{121}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 15$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{121}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 15$

Etapa 3.2.2.3

Escreva $- 15$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 15}{1}$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{- 15}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 15}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 15}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 15 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{4} + \frac{- 15 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121 - 121 \cdot 2 - 15 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 121$ por $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121 - 242 - 15 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121 - 242 - 60}{4}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.5.1

Subtraia $242$ de $121$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{- 121 - 60}{4}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $60$ de $- 121$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{- 181}{4}$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{11}{2}) = - \frac{181}{4}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{181}{4}$ .

$- \frac{181}{4}$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x^{2} + 11 x - 15$ é $y = - \frac{181}{4}$ .

$y = - \frac{181}{4}$

Etapa 5