Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 x^{5} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$

Etapa 2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.39902337, 0, 0.13320739$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ em $x = - 1.39902337$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.39902337$ na expressão.

$f (- 1.39902337) = {(- 1.39902337)}^{6} + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 1.39902337$ à potência de $6$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1.39902337$ à potência de $3$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 \cdot - 2.73826144 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 2.73826144$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $- 1.39902337$ à potência de $2$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1 \cdot 1.9572664 + 9$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1.9572664$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1.9572664 + 9$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $13.69130723$ de $7.49807575$ .

$f (- 1.39902337) = - 6.19323148 - 1.9572664 + 9$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $1.9572664$ de $- 6.19323148$ .

$f (- 1.39902337) = - 8.15049788 + 9$

Etapa 3.2.2.3

Some $- 8.15049788$ e $9$ .

$f (- 1.39902337) = 0.84950211$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $0.84950211$ .

$0.84950211$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ em $x = 0$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Etapa 4.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 9$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 9$

Etapa 4.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 9$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 9$

Etapa 4.2.2.3

Some $0$ e $9$ .

$f (0) = 9$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ em $x = 0.13320739$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.13320739$ na expressão.

$f (0.13320739) = {(0.13320739)}^{6} + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $0.13320739$ à potência de $6$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $0.13320739$ à potência de $3$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 \cdot 0.00236365 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $5$ por $0.00236365$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Etapa 5.2.1.4

Eleve $0.13320739$ à potência de $2$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 1 \cdot 0.0177442 + 9$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0.0177442$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 0.0177442 + 9$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Some $0.00000558$ e $0.01181829$ .

$f (0.13320739) = 0.01182388 - 0.0177442 + 9$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $0.0177442$ de $0.01182388$ .

$f (0.13320739) = - 0.00592032 + 9$

Etapa 5.2.2.3

Some $- 0.00592032$ e $9$ .

$f (0.13320739) = 8.99407967$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $8.99407967$ .

$8.99407967$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ são $y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$ .

$y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$

Etapa 7