Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$6 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $192$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $192 x$ em relação a $x$ é $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $192$ por $1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $6 x^{2} + 72 x + 192$ e $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 72 x + 192 = 0$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 72 x + 192$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 72 x + 192 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $6$ de $72 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (12 x) + 192 = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $6$ de $192$ .

$6 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (12 x)$ .

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32$ .

$6 (x^{2} + 12 x + 32) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} + 12 x + 32$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $32$ e cuja soma é $12$ .

$4, 8$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x + 4) (x + 8)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x + 4) (x + 8) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.4

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x + 4) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, - 8$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ em $x = - 4$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{3} + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f (- 4) = 2 \cdot - 64 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 64$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 \cdot 16 + 192 (- 4) + 7$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $36$ por $16$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 + 192 (- 4) + 7$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $192$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 - 768 + 7$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.2.2.1

Some $- 128$ e $576$ .

$f (- 4) = 448 - 768 + 7$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $768$ de $448$ .

$f (- 4) = - 320 + 7$

Etapa 3.2.2.3

Some $- 320$ e $7$ .

$f (- 4) = - 313$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $- 313$ .

$- 313$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ em $x = - 8$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $3$ .

$f (- 8) = 2 \cdot - 512 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 512$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 \cdot 64 + 192 (- 8) + 7$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $36$ por $64$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 + 192 (- 8) + 7$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $192$ por $- 8$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 - 1536 + 7$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 1024$ e $2304$ .

$f (- 8) = 1280 - 1536 + 7$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1536$ de $1280$ .

$f (- 8) = - 256 + 7$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 256$ e $7$ .

$f (- 8) = - 249$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 249$ .

$- 249$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ são $y = - 313, y = - 249$ .

$y = - 313, y = - 249$

Etapa 6