Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 7 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$4 x - 7 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 7 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x - 7$ e $0$ .

$4 x - 7$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - 7 = 0$ .

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Etapa 2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$4 x = 7$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $4 x = 7$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 7$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{4}$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$ em $x = \frac{7}{4}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7}{4}$ na expressão.

$f (\frac{7}{4}) = 2 {(\frac{7}{4})}^{2} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{16}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 (8)}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Etapa 3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 \cdot 8}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Etapa 3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 7 (\frac{7}{4})$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Combine $- 7$ e $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 7 \cdot 7}{4} + 5$

Etapa 3.2.1.5.2

Multiplique $- 7$ por $7$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 49}{4} + 5$

Etapa 3.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} + 5$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $\frac{49}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - (\frac{49}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 5$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{49}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 5$

Etapa 3.2.2.3

Escreva $5$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1}$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 49 \cdot 2 + 5 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 49$ por $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 5 \cdot 8}{8}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $5$ por $8$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 40}{8}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.5.1

Subtraia $98$ de $49$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 49 + 40}{8}$

Etapa 3.2.5.2

Some $- 49$ e $40$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 9}{8}$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{7}{4}) = - \frac{9}{8}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{9}{8}$ .

$- \frac{9}{8}$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$ é $y = - \frac{9}{8}$ .

$y = - \frac{9}{8}$

Etapa 5