Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{2} + 6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$16 x + 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 x + 6 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $16 x + 6$ e $0$ .

$16 x + 6$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $16 x + 6 = 0$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$16 x = - 6$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $16 x = - 6$ por $16$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $16 x = - 6$ por $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{16}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $16$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 3)}{16}$

Etapa 2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

Etapa 2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 3}{8}$

Etapa 2.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{8}$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ em $x = - \frac{3}{8}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{8}$ na expressão.

$f (- \frac{3}{8}) = 8 {(- \frac{3}{8})}^{2} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (1 (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{64}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Fatore $8$ de $64$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 (8)}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 \cdot 8}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{8}$ para o numerador.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (\frac{- 3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.7.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 (3) (\frac{- 3}{8}) + 1$

Etapa 3.2.1.7.3

Fatore $2$ de $8$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

Etapa 3.2.1.7.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

Etapa 3.2.1.7.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 3 (\frac{- 3}{4}) + 1$

Etapa 3.2.1.8

Combine $3$ e $\frac{- 3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot - 3}{4} + 1$

Etapa 3.2.1.9

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} + 1$

Etapa 3.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Etapa 3.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Etapa 3.2.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Etapa 3.2.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 8}{8}$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 8}{8}$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 8}{8}$

Etapa 3.2.4.3

Some $- 9$ e $8$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 1}{8}$

Etapa 3.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3}{8}) = - \frac{1}{8}$

Etapa 3.2.5

A resposta final é $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ é $y = - \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8}$

Etapa 5