Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 4 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 - 4 \cos (x)$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 - 4 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 4 \cos (x) = - 4$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = - 4$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- 4 \cos (x) = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 4$ .

$\cos (x) = 1$

Etapa 2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 2.6

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ em $x = 2 π$ .

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Etapa 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

Etapa 3.2.1.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

Etapa 3.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (2 π) = 8 π + 0$

Etapa 3.2.2

Some $8 π$ e $0$ .

$f (2 π) = 8 π$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $8 π$ .

$8 π$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ é $y = x = 2 π n, y = 8 π$ .

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

Etapa 5