Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 4 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x - 4 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $12 x - 4$ e $0$ .

$12 x - 4$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x - 4 = 0$ .

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Etapa 2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$12 x = 4$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $12 x = 4$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $12 x = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{12}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x = \frac{4 (1)}{12}$

Etapa 2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ em $x = \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{3}$ na expressão.

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.4.2

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.5

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Etapa 3.2.1.6

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

Etapa 3.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

Etapa 3.2.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $4$ de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.3

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.4

Combine $5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

Etapa 3.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

Etapa 3.2.6.2

Subtraia $2$ de $15$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

Etapa 3.2.7

A resposta final é $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ é $y = \frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{3}$

Etapa 5