Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$6 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 60$ por $1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $6 x^{2} + 18 x - 60$ e $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 18 x - 60 = 0$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 18 x - 60$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 18 x - 60 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $6$ de $18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (3 x) - 60 = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $6$ de $- 60$ .

$6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10$ .

$6 (x^{2} + 3 x - 10) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} + 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $3$ .

$- 2, 5$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 2) (x + 5)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 2) (x + 5) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 2) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 5$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Etapa 3.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = 2^{1 + 3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Etapa 3.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f (2) = 2^{4} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 16 + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 16 + 9 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 4$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$f (2) = 16 + 36 - 60 \cdot 2 + 4$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $- 60$ por $2$ .

$f (2) = 16 + 36 - 120 + 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.2.2.1

Some $16$ e $36$ .

$f (2) = 52 - 120 + 4$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $120$ de $52$ .

$f (2) = - 68 + 4$

Etapa 3.2.2.3

Some $- 68$ e $4$ .

$f (2) = - 64$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $- 64$ .

$- 64$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ em $x = - 5$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 125$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 \cdot 25 - 60 \cdot - 5 + 4$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $9$ por $25$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 - 60 \cdot - 5 + 4$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 60$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 + 300 + 4$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 250$ e $225$ .

$f (- 5) = - 25 + 300 + 4$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 25$ e $300$ .

$f (- 5) = 275 + 4$

Etapa 4.2.2.3

Some $275$ e $4$ .

$f (- 5) = 279$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $279$ .

$279$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ são $y = - 64, y = 279$ .

$y = - 64, y = 279$

Etapa 6