Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$6 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [210 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $210$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $210 x$ em relação a $x$ é $210 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $210$ por $1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $6 x^{2} + 72 x + 210$ e $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 72 x + 210 = 0$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 72 x + 210$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 72 x + 210 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $6$ de $72 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (12 x) + 210 = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $6$ de $210$ .

$6 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot 35 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (12 x)$ .

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 35 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 35$ .

$6 (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} + 12 x + 35$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $12$ .

$5, 7$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x + 5) (x + 7)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x + 5) (x + 7) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.4

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x + 5) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, - 7$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ em $x = - 5$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 36 {(- 5)}^{2} + 210 (- 5) + 11$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 36 {(- 5)}^{2} + 210 (- 5) + 11$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 125$ .

$f (- 5) = - 250 + 36 {(- 5)}^{2} + 210 (- 5) + 11$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - 250 + 36 \cdot 25 + 210 (- 5) + 11$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $36$ por $25$ .

$f (- 5) = - 250 + 900 + 210 (- 5) + 11$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $210$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 250 + 900 - 1050 + 11$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.2.2.1

Some $- 250$ e $900$ .

$f (- 5) = 650 - 1050 + 11$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $1050$ de $650$ .

$f (- 5) = - 400 + 11$

Etapa 3.2.2.3

Some $- 400$ e $11$ .

$f (- 5) = - 389$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $- 389$ .

$- 389$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ em $x = - 7$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f (- 7) = 2 {(- 7)}^{3} + 36 {(- 7)}^{2} + 210 (- 7) + 11$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$f (- 7) = 2 \cdot - 343 + 36 {(- 7)}^{2} + 210 (- 7) + 11$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 343$ .

$f (- 7) = - 686 + 36 {(- 7)}^{2} + 210 (- 7) + 11$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$f (- 7) = - 686 + 36 \cdot 49 + 210 (- 7) + 11$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $36$ por $49$ .

$f (- 7) = - 686 + 1764 + 210 (- 7) + 11$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $210$ por $- 7$ .

$f (- 7) = - 686 + 1764 - 1470 + 11$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 686$ e $1764$ .

$f (- 7) = 1078 - 1470 + 11$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1470$ de $1078$ .

$f (- 7) = - 392 + 11$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 392$ e $11$ .

$f (- 7) = - 381$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 381$ .

$- 381$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ são $y = - 389, y = - 381$ .

$y = - 389, y = - 381$

Etapa 6