Cálculo Exemplos

$\csc (x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Etapa 1.2

Reordene os fatores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Etapa 2.2

Defina $\cot (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Defina $\cot (x)$ como igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Resolva $\cot (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (0)$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.2.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.2.3

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.2.4

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.2.2.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.2.2.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 2.2.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.2.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 2.2.2.4.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.2.2.5

Encontre o período de $\cot (x)$ .

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Etapa 2.2.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.2.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.2.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.2.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.2.2.6

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.3

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $\csc (x)$ como igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Etapa 2.3.2

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2.4

A solução final são todos os valores que tornam $- \cot (x) \csc (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \csc (x)$ em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \csc (x)$ em $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2} + π$ na expressão.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 4.2.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Etapa 4.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Etapa 4.2.3.2

Some $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Etapa 4.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 4.2.5

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Etapa 4.2.7

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = \csc (x)$ é $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Etapa 6