Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 10 x$ .

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Etapa 1.3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Fatore $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$x (x - 10) = 0$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Etapa 2.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.3

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 2.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 10) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 10$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ em $x = 0$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

Etapa 3.2.3

Divida $0$ por $- 5$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ em $x = 10$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ de $10$ .

$f (10) = \frac{100}{5}$

Etapa 4.2.3

Divida $100$ por $5$ .

$f (10) = 20$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $20$ .

$20$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ são $y = 0, y = 20$ .

$y = 0, y = 20$

Etapa 6