Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 1.1.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Etapa 1.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1}$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Etapa 1.6.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}}$

Etapa 1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.8.2

Combine os termos.

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Etapa 1.8.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Etapa 1.8.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.2

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não foi encontrada uma solução ao definir a derivada igual a $0$ , $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ , então não há linhas tangentes horizontais.

Nenhuma reta tangente horizontal encontrada

Etapa 4