Cálculo Exemplos

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$

Etapa 1

Set each solution of $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 100 x y \to f (x) = 100 x y$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y)$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.2.6.2

Reordene os fatores de $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100 x y$ em relação a $x$ é $100 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$100 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$100 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$100 (x y' + y)$

Etapa 2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$100 x y' + 100 y$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 2.5.1

Simplifique $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

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Etapa 2.5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.3

Expanda $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.5.1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.5

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.7

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.1.4.7.1

Mova $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.7.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 2.5.1.4.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.7.3

Some $2$ e $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.1.4.8

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 x y' + 100 y$

Etapa 2.5.2

Subtraia $100 x y'$ dos dois lados da equação.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y$

Etapa 2.5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.5.3.1

Subtraia $12 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3}$

Etapa 2.5.3.2

Subtraia $12 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 2.5.4

Fatore $4 y'$ de $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y'$ .

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Etapa 2.5.4.1

Fatore $4 y'$ de $12 y y' x^{2}$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.2

Fatore $4 y'$ de $12 y^{3} y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.3

Fatore $4 y'$ de $- 100 x y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $4 y'$ de $4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3})$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 2.5.4.5

Fatore $4 y'$ de $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x)$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 2.5.5

Divida cada termo em $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ por $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ e simplifique.

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Etapa 2.5.5.1

Divida cada termo em $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ por $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ .

$\frac{4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 2.5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.2.2

Cancele o fator comum de $3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x$ .

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Etapa 2.5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 2.5.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $100$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.1.1

Fatore $4$ de $100 y$ .

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{(3) x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.4.1

Fatore $4$ de $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Etapa 2.5.5.3.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Etapa 2.5.5.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Etapa 2.5.5.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 2.5.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Etapa 2.5.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Etapa 3

The roots of the derivative $\frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Etapa 4