Cálculo Exemplos

$2 \cos (2 x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 \sin (2 x)$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $- 4 \sin (2 x) = 0$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $- 4 \sin (2 x) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Etapa 2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Divida $0$ por $- 4$ .

$\sin (2 x) = 0$

Etapa 2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - 0$

Etapa 2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Etapa 2.6.1.2

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 2.6.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.8

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 2 \cos (2 x)$ em $x = \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

Etapa 3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

Etapa 3.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

Etapa 3.2.5

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 2 \cos (2 x)$ é $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ .

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

Etapa 5