Cálculo Exemplos

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 36 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4 x^{3} - 36 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $4 x$ de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore.

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Etapa 2.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, 3$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ em $x = 0$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 81$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81$

Etapa 3.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 81$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 81$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 81$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $81$ .

$f (0) = 81$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $81$ .

$81$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ em $x = - 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (- 3) = 81 - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = 81 - 18 \cdot 9 + 81$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $162$ de $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 81$ e $81$ .

$f (- 3) = 0$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ são $y = 81, y = 0, y = 0$ .

$y = 81, y = 0, y = 0$

Etapa 6