Cálculo Exemplos

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

Etapa 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{6} + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

Etapa 2.2.3.2

Reordene os termos.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 2.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$2 y y' + 12$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 2.5.1

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3

Fatore $2 y y'$ de $6 y^{5} y' - 2 y y'$ .

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Etapa 2.5.3.1

Fatore $2 y y'$ de $6 y^{5} y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3.2

Fatore $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.4

Divida cada termo em $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ por $2 y (3 y^{4} - 1)$ e simplifique.

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Etapa 2.5.4.1

Divida cada termo em $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ por $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.2.3

Cancele o fator comum de $3 y^{4} - 1$ .

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Etapa 2.5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2

Divida $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

Etapa 3.2.3.2

Divida $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados por $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

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Etapa 3.4.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $y (3 y^{4} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

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Etapa 3.4.2.1.2.1

Combine $2$ e $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $y (3 y^{4} - 1)$ .

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Etapa 3.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Etapa 3.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} = 12$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 12$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 12$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Etapa 3.5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Etapa 3.5.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Etapa 3.5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.1.3.1

Divida $12$ por $3$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 3.5.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 3.5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 3.5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 3.5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$f (2) = y^{2} + 24$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $y^{2} + 24$ .

$y^{2} + 24$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} - 24$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $y^{2} - 24$ .

$y^{2} - 24$

Etapa 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

Etapa 7