Cálculo Exemplos

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - x$ e $c = - 12$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Etapa 1.3.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Etapa 1.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.4

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Etapa 1.4.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Etapa 1.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Etapa 1.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.4

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Etapa 1.5.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Etapa 1.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Etapa 1.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - x y - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 3.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Etapa 3.2.4

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Etapa 3.2.5

Simplifique.

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Etapa 3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Etapa 3.2.5.2

Some $2 y y' - x y' - y$ e $0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Etapa 3.3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$2 y y' - x y' = y$

Etapa 3.5.2

Fatore $y'$ de $2 y y' - x y'$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $y' (2 y - x) = y$ por $2 y - x$ e simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $y' (2 y - x) = y$ por $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y - x$ .

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Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Etapa 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Etapa 5