Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

Etapa 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x y$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Etapa 2.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Etapa 2.3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 2.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.5.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.1.2

Some $9 y$ aos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Etapa 2.5.2

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $3 y'$ de $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Etapa 2.5.3

Divida cada termo em $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ por $3 (y^{2} - 3 x)$ e simplifique.

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Etapa 2.5.3.1

Divida cada termo em $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ por $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2} - 3 x$ .

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Etapa 2.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 2.5.3.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 2.5.3.3.1.3.1

Fatore $3$ de $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Etapa 2.5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 2.5.3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 2.5.3.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 2.5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 2.5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 2.5.3.3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.3.3.2.5.1

Reescreva $- (x^{2} - 3 y)$ como $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 2.5.3.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} - 3 y = 0$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3 y$

Etapa 3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3 y}$

Etapa 3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3 y}$

Etapa 3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3 y}$

Etapa 3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

Etapa 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3 y}$ na expressão.

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

Etapa 4.2

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Etapa 6