Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

Etapa 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

Etapa 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Etapa 2.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 (x y' + y)$

Etapa 2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y' + 2 y$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

Etapa 2.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 2.5.1

Subtraia $2 x y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' - 2 x y'$ .

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Etapa 2.5.3.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3.2

Fatore $y'$ de $- 2 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.4

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 2 x$ e simplifique.

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Etapa 2.5.4.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} - 2 x$ .

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Etapa 2.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Etapa 2.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Etapa 2.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 2 y$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 2 y$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

Etapa 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.2.4.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.2.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.2.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.2.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.2.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.2.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.2.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

Etapa 3.2.4.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Etapa 3.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Etapa 3.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Etapa 3.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Etapa 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ e $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Etapa 5.2.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Etapa 5.2.3

Combine $y$ e $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

Etapa 5.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Etapa 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Etapa 7