Cálculo Exemplos

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

Etapa 1.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = x$ e $c = x^{2} - 9$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.4

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5.2

Fatore $3$ de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.4

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5.2

Fatore $3$ de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.5.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.5.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Etapa 1.5.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Etapa 1.5.7

Reescreva $- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ como $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Etapa 1.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.4

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5.2

Fatore $3$ de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.6.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.6.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Etapa 1.6.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Etapa 1.6.7

Reescreva $- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ como $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Etapa 1.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 1.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Etapa 3.2.4

Reordene os termos.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Etapa 3.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Etapa 3.5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 3.5.2

Fatore $y'$ de $x y' + 2 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.5.1

Reescreva $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x + y = 0$

Etapa 4.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$2 x = - y$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y}{2}$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{y}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Etapa 5.2.1.5

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Etapa 5.2.1.6

Combine $12$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Etapa 5.2.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Etapa 5.2.1.8

Multiplique $12$ por $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Etapa 5.2.1.9

Combine $3$ e $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Etapa 5.2.1.10

Reescreva $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.10.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Etapa 5.2.1.10.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Etapa 5.2.1.10.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Etapa 5.2.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

Etapa 5.2.1.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Etapa 5.2.1.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Etapa 5.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.3

Multiplique $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 5.2.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 5.2.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Etapa 5.2.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Etapa 5.2.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Reescreva $- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ como $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Etapa 5.2.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 5.2.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Etapa 5.2.7.4

Multiplique $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 5.2.8

A resposta final é $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{y}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Etapa 6.2.1.5

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $12$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Etapa 6.2.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $12$ por $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Etapa 6.2.1.9

Combine $3$ e $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Etapa 6.2.1.10

Reescreva $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.10.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Etapa 6.2.1.10.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Etapa 6.2.1.10.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Etapa 6.2.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

Etapa 6.2.1.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Etapa 6.2.1.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Etapa 6.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 6.2.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 6.2.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Etapa 6.2.6

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Etapa 6.2.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

Reescreva $- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ como $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Etapa 6.2.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 6.2.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Etapa 6.2.7.4

Multiplique $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 6.2.8

A resposta final é $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Etapa 8