Cálculo Exemplos

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ por $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

Etapa 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Etapa 1.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

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Etapa 1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Etapa 1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

Etapa 1.4.3

Reescreva $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

Etapa 1.4.4

Reescreva $\frac{x^{2}}{9}$ como ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Etapa 1.4.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{3}$ e $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Etapa 1.4.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Etapa 1.4.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

Etapa 1.4.6.3

Multiplique $\frac{1 + x}{3}$ por $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

Etapa 1.4.6.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

Etapa 1.4.7

Reescreva $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

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Etapa 1.4.7.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

Etapa 1.4.7.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Etapa 1.4.7.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

Etapa 1.4.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 1.4.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Etapa 1.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Etapa 1.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Etapa 1.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Diferencie.

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Etapa 3.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 y^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$2 x + 18 y y'$

Etapa 3.2.3

Reordene os termos.

$18 y y' + 2 x$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$18 y y' + 2 x = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$18 y y' = - 2 x$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $18 y y' = - 2 x$ por $18 y$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $18 y y' = - 2 x$ por $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $18$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Etapa 3.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Etapa 3.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $18$ .

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Etapa 3.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

Etapa 3.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.2.1

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $1 - (0)$ por $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Etapa 5.2.2.4

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

Etapa 5.2.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $1 - (0)$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Etapa 6.2.2.4

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

Etapa 6.2.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

Etapa 8