Cálculo Exemplos

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 + \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.1.3

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.1.3.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.1.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.2

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.3

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.4

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.3

Reordene os termos.

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.4

Fatore $- 1$ de $- 1 - 2 \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.4.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.4.2

Fatore $- 1$ de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (2 \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.4.4

Reescreva $- 1 (1 + 2 \sin (x))$ como $- (1 + 2 \sin (x))$ .

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1.9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 1$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 2.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 2.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 2.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 2.2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.2.8.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 2.2.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 2.2.8.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 2.2.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 2.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ em $x = \frac{7 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Etapa 3.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Etapa 3.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Etapa 3.2.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 3.2.2.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 3.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Etapa 3.2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Etapa 3.2.2.6.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 3.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ em $x = \frac{11 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Etapa 4.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Etapa 4.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 4.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Etapa 4.2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Etapa 4.2.2.6.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

Etapa 4.2.5

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.6

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ são $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 6