Cálculo Exemplos

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} - 3 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $x^{2} - 3$ e $0$ .

$x^{2} - 3$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 3 = 0$ .

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Etapa 2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ em $x = \sqrt{3}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3}$ na expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.1.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.2

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $- 2 \sqrt{3} + 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ em $x = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.5

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.2.1.5.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.5.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.7.1

Fatore $3$ de $- (3 \sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Etapa 4.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

Etapa 4.2.2

Some $- \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $2 \sqrt{3} + 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ são $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

Etapa 6