Cálculo Exemplos

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Etapa 1.2

Simplifique $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

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Etapa 1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Etapa 1.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Etapa 1.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Etapa 1.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Etapa 1.3.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Etapa 1.3.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Etapa 1.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Reescreva ${(y - 2)}^{2}$ como $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Etapa 3.2.2

Expanda $(y - 2) (y - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Etapa 3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Etapa 3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Etapa 3.2.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $2 y$ de $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Etapa 3.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 4 y + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Etapa 3.2.10

Some $2 y y' - 4 y'$ e $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Etapa 3.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 (x - 3)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 3.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (1 + 0)$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $2 y'$ de $2 y y' - 4 y'$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $2 y'$ de $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $2 y' (y - 2) = 4$ por $2 (y - 2)$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $2 y' (y - 2) = 4$ por $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Etapa 3.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Etapa 3.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 3.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

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Etapa 4.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 4.2

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 5

Não foi encontrada uma solução ao definir a derivada igual a $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ , então não há linhas tangentes horizontais.

Nenhuma reta tangente horizontal encontrada

Etapa 6