Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{x^{2}}{16}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 1.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.1

Simplifique $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 1.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Etapa 1.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{16}$ para o numerador.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Etapa 1.3.2.1.3.2

Fatore $4$ de $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Etapa 1.3.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.3.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Etapa 1.3.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Etapa 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Etapa 1.5

Simplifique $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Etapa 1.5.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 1.5.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Etapa 1.5.1.2

Reescreva $\frac{x^{2}}{4}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Etapa 1.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 1.5.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 1.5.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 1.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 1.5.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Etapa 1.5.7

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Etapa 1.5.8

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Etapa 1.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Etapa 1.5.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Etapa 1.5.11

Multiplique $\frac{4 + x}{2}$ por $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.5.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Etapa 1.5.13

Reescreva $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Etapa 1.5.13.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Etapa 1.5.13.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 1.5.13.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Etapa 1.5.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 1.5.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 1.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 1.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 1.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

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Etapa 3.2.2.1

Como $\frac{1}{16}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{16}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2.4

Combine $\frac{2}{16}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

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Etapa 3.2.2.5.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

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Etapa 3.2.3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{2}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Etapa 3.2.3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Etapa 3.2.3.5

Combine $y$ e $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Etapa 3.2.3.6

Combine $\frac{y \cdot 2}{4}$ e $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Etapa 3.2.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Etapa 3.2.3.8

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.2.3.8.1

Fatore $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Etapa 3.2.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.8.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Subtraia $\frac{x}{8}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Etapa 3.5.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Etapa 3.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Simplifique $2 (- \frac{x}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{8}$ para o numerador.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Etapa 3.5.3.2.1.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Etapa 3.5.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.5.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $y y' = - \frac{x}{4}$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $y y' = - \frac{x}{4}$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 3.5.4.3.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Etapa 3.5.4.3.3

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Etapa 5.2.2.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

Etapa 5.2.2.5

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Etapa 5.2.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = \frac{4}{2}$

Etapa 5.2.3

Divida $4$ por $2$ .

$f (0) = 2$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Etapa 6.2.2.3

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

Etapa 6.2.2.5

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Etapa 8