Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Há três tipos de simetria:

1. Simetria do eixo X

2. Simetria do eixo Y

3. Defina a origem da simetria

Etapa 2

Se $(x, y)$ existir no gráfico, o gráfico será simétrico em relação a:

1. Eixo X se $(x, - y)$ existir no gráfico

2. Eixo Y se $(- x, y)$ existir no gráfico

3. Defina a origem se $(- x, - y)$ existir no gráfico

Etapa 3

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 4.2

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 4.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Etapa 4.6

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ como $x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 4.6.5

Simplifique.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 6

Como a equação não é idêntica à equação original, ela não é simétrica em relação ao eixo x.

Não simétrico ao eixo x

Etapa 7

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 8.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Etapa 8.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 9

Como a equação não é idêntica à equação original, ela não é simétrica em relação ao eixo y.

Não simétrico ao eixo y

Etapa 10

Verifique se o gráfico é simétrico em relação à origem, substituindo $- x$ por $x$ e $- y$ por $y$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 11.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 11.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Etapa 11.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 12

Multiplique os dois lados por $- 1$ .

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Etapa 12.1

Multiplique cada termo por $- 1$ .

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.2

Multiplique $- - y$ .

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Etapa 12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.3

Multiplique $- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 12.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 12.3.2

Multiplique $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ por $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 13

Como a equação é idêntica à equação original, ela é simétrica em relação à origem.

Simétrico em relação à origem

Etapa 14