Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $16 x$ dos dois lados da equação.

$y + 6 = - 16 x$

Etapa 1.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$y = - 16 x - 6$

Etapa 2

Use a forma reduzida para encontrar a inclinação.

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Etapa 2.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.2

Usando a forma reduzida, a inclinação é $- 16$ .

$m = - 16$

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x$

Etapa 4

A primeira derivada de uma função representa a inclinação em cada ponto dela. Neste caso, a derivada de $f (x) = 8 x^{2}$ é $16 x$ , e a inclinação da reta em questão $y = - 16 x - 6$ é $m = - 16$ . Para encontrar o ponto em $f (x) = 8 x^{2}$ em que a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da reta fornecida $y = - 16 x - 6$ , substitua o valor da inclinação da reta $- 16$ pelo valor de $16 x$ .

$- 16 = 16 x$

Etapa 5

Resolva $- 16 = 16 x$ para $x$ para encontrar a coordenada x do ponto em que a reta tangente é paralela à reta em questão $y = - 16 x - 6$ . Nesse caso, a coordenada x é $x = - 1$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $16 x = - 16$ .

$16 x = - 16$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $16 x = - 16$ por $16$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $16 x = - 16$ por $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{16}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Divida $- 16$ por $16$ .

$x = - 1$

Etapa 6

Substitua $- 1$ em $f (x) = 8 x^{2}$ para obter a coordenada y do ponto no qual a reta tangente é paralela à reta em questão $y = - 16 x - 6$ . Nesse caso, a coordenada y é $8$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

Etapa 6.2.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$f (- 1) = 8$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 7

O ponto em $f (x) = 8 x^{2}$ em que a inclinação da reta tangente é igual, pois a inclinação da reta $y = - 16 x - 6$ tem coordenada x de $- 1$ e coordenada y de $8$ . A inclinação da reta tangente é igual à inclinação de $y = - 16 x - 6$ , que é $m = - 16$ .

$(- 1, 8), m = - 16$

Etapa 8

A reta tangente em $(- 1, 8)$ , em que a inclinação é $m = - 16$ .

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Etapa 8.1

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 8.1.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 8.1.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (- 16) \cdot x + b$

Etapa 8.1.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Etapa 8.1.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Etapa 8.1.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 8.1.5.1

Reescreva a equação como $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ .

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

Etapa 8.1.5.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$16 + b = 8$

Etapa 8.1.5.3

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.1.5.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$b = 8 - 16$

Etapa 8.1.5.3.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$b = - 8$

Etapa 8.2

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = - 16 x - 8$

Etapa 9