Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Etapa 1

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Etapa 1.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Subtraia $5$ de $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Etapa 1.1.2.2.2

Some $- 4$ e $6$ .

$f (1) = 2$

Etapa 1.1.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 1.2

Como $2 = 2$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 2

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Etapa 3

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 4

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 4.1.2.1.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Etapa 4.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Etapa 4.2

Reordene.

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Etapa 4.2.1

Mova $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Etapa 4.2.2

Mova $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Etapa 4.2.3

Reordene $2 h x$ e $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Etapa 4.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Etapa 5

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Etapa 6.1.2

Simplifique.

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Etapa 6.1.4

Some $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Etapa 6.1.5

Some $- 5 x$ e $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Etapa 6.1.6

Some $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Etapa 6.1.7

Subtraia $6$ de $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Etapa 6.1.8

Some $h^{2} + 2 h x - 5 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Etapa 6.1.9

Fatore $h$ de $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

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Etapa 6.1.9.1

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Etapa 6.1.9.2

Fatore $h$ de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Etapa 6.1.9.3

Fatore $h$ de $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Etapa 6.1.9.4

Fatore $h$ de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Etapa 6.1.9.5

Fatore $h$ de $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Etapa 6.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $h + 2 x - 5$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Etapa 6.2.2

Reordene $h$ e $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Etapa 8

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Etapa 9.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$2 x - 5$

Etapa 10

Simplifique $2 (1) - 5$ .

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Etapa 10.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$m = 2 - 5$

Etapa 10.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$m = - 3$

Etapa 11

A inclinação é $m = - 3$ , e o ponto é $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Etapa 12

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 12.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 12.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Etapa 12.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Etapa 12.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Etapa 12.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 12.5.1

Reescreva a equação como $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Etapa 12.5.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 + b = 2$

Etapa 12.5.3

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.5.3.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$b = 2 + 3$

Etapa 12.5.3.2

Some $2$ e $3$ .

$b = 5$

Etapa 13

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = - 3 x + 5$

Etapa 14