Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{7 x}$ , $(7, 7)$

Etapa 1

Escreva $y = \sqrt{7 x}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{7 x}$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

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Etapa 2.1

Avalie $f (x) = \sqrt{7 x}$ em $x = 7$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = \sqrt{7 (7)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$f (7) = \sqrt{49}$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$f (7) = \sqrt{7^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (7) = 7$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 2.2

Como $7 = 7$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = \sqrt{7 x}$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 5.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \sqrt{7 (x + h)}$

Etapa 5.1.2

A resposta final é $\sqrt{7 (x + h)}$ .

$\sqrt{7 (x + h)}$

Etapa 5.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \sqrt{7 (x + h)}$

$f (x) = \sqrt{7 x}$

$f (x + h) = \sqrt{7 (x + h)}$

$f (x) = \sqrt{7 x}$

Etapa 6

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{7 (x + h)} - (\sqrt{7 x})}{h}$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $\sqrt{7 x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{7 (x + h)} - \sqrt{7 x}}{h}$

Etapa 8

Não há valores à esquerda de $0$ no domínio de $\frac{\sqrt{7 (x + h)} - \sqrt{7 x}}{h}$ , então, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 9

Encontre a inclinação $m$ . Neste caso, $m = D o e s (n o t) (e (7) i s t)$ .

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Etapa 9.1

Multiplique $e$ por $7$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (7 i s t))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses.

$m = D o e s (n o t) (e (7) i s t)$

Etapa 10

A inclinação é $m = D o e s (n o t) (e (7) i s t)$ , e o ponto é $(7, 7)$ .

$m = D o e s (n o t) (e (7) i s t)$

$m = (7, 7)$

Etapa 11

Multiplique $e$ por $7$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (7 i s t))$

Etapa 12

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 12.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 12.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (7 i s t))) \cdot x + b$

Etapa 12.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (7 i s t))) \cdot (7) + b$

Etapa 12.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$7 = (D o e s (n o t) (e \cdot (7 i s t))) \cdot (7) + b$

Etapa 12.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 12.5.1

Reescreva a equação como $D o e s (n o t) (e \cdot (7 i s t)) \cdot 7 + b = 7$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (7 i s t)) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.5.2.1

Multiplique $o$ por $o$ somando os expoentes.

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Etapa 12.5.2.1.1

Mova $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (7 i s t)) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.1.2

Multiplique $o$ por $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (7 i s t)) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.2

Multiplique $s$ por $s$ somando os expoentes.

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Etapa 12.5.2.2.1

Mova $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (7 i t)) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.2.2

Multiplique $s$ por $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (7 i t)) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.3

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 12.5.2.3.1

Mova $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (7 i)) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.3.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (7 i)) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.4

Mova $7$ para a esquerda de $e$ .

$D o^{2} e s^{2} n t^{2} (7 \cdot e i) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.5

Multiplique $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (7 e i)$ .

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Etapa 12.5.2.5.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (7 (e^{1} e) i) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.5.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (7 (e^{1} e^{1}) i) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (7 e^{1 + 1} i) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (7 e^{2} i) \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.6

Mova $7$ para a esquerda de $D o^{2} s^{2} n t^{2}$ .

$7 \cdot (D o^{2} s^{2} n t^{2}) e^{2} i \cdot 7 + b = 7$

Etapa 12.5.2.7

Multiplique $7$ por $7$ .

$49 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = 7$

Etapa 12.5.3

Subtraia $49 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ dos dois lados da equação.

$b = 7 - 49 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Etapa 13

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 7 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + 7 - 49 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Etapa 14