Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + 9$ , $(0, 9)$

Etapa 1

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

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Etapa 1.1

Avalie $f (x) = x^{3} + 9$ em $x = 0$ .

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Etapa 1.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} + 9$

Etapa 1.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 1.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 9$

Etapa 1.1.2.2

Some $0$ e $9$ .

$f (0) = 9$

Etapa 1.1.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 1.2

Como $9 = 9$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 2

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = x^{3} + 9$

Etapa 3

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 4

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 4.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 9$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$

Etapa 4.2

Reordene.

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Etapa 4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$

Etapa 4.2.2

Mova $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 9$

Etapa 4.2.3

Mova $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 9$

Etapa 4.2.4

Mova $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

Etapa 4.2.5

Reordene $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

Etapa 4.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

$f (x) = x^{3} + 9$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

$f (x) = x^{3} + 9$

Etapa 5

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9 - (x^{3} + 9)}{h}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9 - x^{3} - 1 \cdot 9}{h}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9 - x^{3} - 9}{h}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 + 9 - 9}{h}$

Etapa 6.1.4

Some $h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 9 - 9}{h}$

Etapa 6.1.5

Subtraia $9$ de $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Etapa 6.1.6

Some $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Etapa 6.1.7

Fatore $h$ de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

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Etapa 6.1.7.1

Fatore $h$ de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Etapa 6.1.7.2

Fatore $h$ de $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Etapa 6.1.7.3

Fatore $h$ de $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Etapa 6.1.7.4

Fatore $h$ de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Etapa 6.1.7.5

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Etapa 6.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Etapa 6.2.2.2

Mova $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Etapa 6.2.2.3

Reordene $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 8

Avalie o limite de $3 x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 9

Mova o termo $3 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 10

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Multiplique $3 x \cdot 0$ .

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Etapa 12.1.1.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Etapa 12.1.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Etapa 12.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Etapa 12.2

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 0 + 0$ .

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Etapa 12.2.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 12.2.2

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 13

Encontre a inclinação $m$ . Neste caso, $m = 0$ .

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Etapa 13.1

Remova os parênteses.

$m = 3 \cdot 0^{2}$

Etapa 13.2

Simplifique $3 \cdot 0^{2}$ .

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Etapa 13.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$m = 3 \cdot 0$

Etapa 13.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$m = 0$

Etapa 14

A inclinação é $m = 0$ , e o ponto é $(0, 9)$ .

$m = 0, (0, 9)$

Etapa 15

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 15.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 15.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (0) \cdot x + b$

Etapa 15.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (0) \cdot (0) + b$

Etapa 15.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$9 = (0) \cdot (0) + b$

Etapa 15.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 15.5.1

Reescreva a equação como $(0) \cdot (0) + b = 9$ .

$(0) \cdot (0) + b = 9$

Etapa 15.5.2

Simplifique $(0) \cdot (0) + b$ .

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Etapa 15.5.2.1

Multiplique $0$ por $0$ .

$0 + b = 9$

Etapa 15.5.2.2

Some $0$ e $b$ .

$b = 9$

Etapa 16

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 9$

Etapa 17