Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Etapa 1

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

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Etapa 1.1

Avalie $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ em $x = 0$ .

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Etapa 1.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 1.1.2.1

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Etapa 1.1.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 1.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 1.2

Como $1 = 1$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 2

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Etapa 3

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 4

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 4.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Etapa 4.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Etapa 5

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Para escrever $\frac{1}{x + h + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Etapa 6.1.2

Para escrever $- \frac{1}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Etapa 6.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h + 1) (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + h + 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.5

Reescreva $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 6.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.5.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.5.4

Some $0$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.5.6

Some $- h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 6.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ para o numerador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 6.3.2

Fatore $h$ de $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 6.3.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Etapa 6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Etapa 7.2

Mova o termo $\frac{1}{x + 1}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Etapa 7.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Etapa 7.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Etapa 7.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Etapa 7.6

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Etapa 7.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Etapa 8

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Some $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Etapa 9.2.1

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Etapa 9.2.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Etapa 9.2.3

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Etapa 9.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Etapa 9.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 10

Encontre a inclinação $m$ . Neste caso, $m = - 1$ .

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Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 10.2

Remova os parênteses.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Etapa 10.3

Simplifique $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

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Etapa 10.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.1.1

Some $0$ e $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 10.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$m = - \frac{1}{1}$

Etapa 10.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 10.3.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 10.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$m = - \frac{1}{1}$

Etapa 10.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$m = - 1 \cdot 1$

Etapa 10.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$m = - 1$

Etapa 11

A inclinação é $m = - 1$ , e o ponto é $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Etapa 12

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 12.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 12.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Etapa 12.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Etapa 12.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Etapa 12.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 12.5.1

Reescreva a equação como $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Etapa 12.5.2

Simplifique $(- 1) \cdot (0) + b$ .

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Etapa 12.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + b = 1$

Etapa 12.5.2.2

Some $0$ e $b$ .

$b = 1$

Etapa 13

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = - x + 1$

Etapa 14