Cálculo Exemplos

$y = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 5 + 0.6 (x + h) - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 ((x + h) (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x (x + h) + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.1.4.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.4.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.4.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.3 (2 h x) - 0.3 h^{2}$

Etapa 2.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 0.3$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$ .

$5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $5$ .

$0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 5$

Etapa 2.2.2

Mova $0.6 x$ .

$0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 x + 5$

Etapa 2.2.3

Mova $0.6 h$ .

$- 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Etapa 2.2.4

Mova $- 0.3 x^{2}$ .

$- 0.6 h x - 0.3 h^{2} - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Etapa 2.2.5

Reordene $- 0.6 h x$ e $- 0.3 h^{2}$ .

$- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $0.1$ de $- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.1.1.1.2

Mova $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (0.6 x - 0.3 x^{2} + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.1.3

Reordene $0.6 x$ e $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $0.1$ de $- 0.3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $0.1$ de $- 0.6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.4

Fatore $0.1$ de $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.5

Fatore $0.1$ de $0.6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.6

Fatore $0.1$ de $0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.7

Fatore $0.1$ de $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Etapa 4.1.1.8

Fatore $0.1$ de $- (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Etapa 4.1.1.9

Fatore $0.1$ de $0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Etapa 4.1.1.10

Fatore $0.1$ de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Etapa 4.1.1.11

Fatore $0.1$ de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Etapa 4.1.1.12

Fatore $0.1$ de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Etapa 4.1.1.13

Fatore $0.1$ de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Etapa 4.1.1.14

Fatore $0.1$ de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2}) - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 0.3$ por $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $0.6$ por $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 10 \cdot 5)}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 10$ por $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 50)}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $- 3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 6 x - 50)}{h}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $6 x$ de $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 50 - 50)}{h}$

Etapa 4.1.6

Subtraia $50$ de $50$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 0)}{h}$

Etapa 4.1.7

Some $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Etapa 4.1.8

Reescreva $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Fatore $3$ de $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1.1

Fatore $3$ de $- 3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Etapa 4.1.8.1.2

Fatore $3$ de $- 6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Etapa 4.1.8.1.3

Fatore $3$ de $0 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 6 h + 0 x)}{h}$

Etapa 4.1.8.1.4

Fatore $3$ de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 0 x)}{h}$

Etapa 4.1.8.1.5

Fatore $3$ de $0 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Etapa 4.1.8.1.6

Fatore $3$ de $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Etapa 4.1.8.1.7

Fatore $3$ de $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Etapa 4.1.8.1.8

Fatore $3$ de $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Etapa 4.1.8.1.9

Fatore $3$ de $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h + 0 x))}{h}$

Etapa 4.1.8.2

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0 x))}{h}$

Etapa 4.1.8.3

Multiplique $0$ por $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0))}{h}$

Etapa 4.1.8.4

Some $- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h))}{h}$

Etapa 4.1.8.5

Some $- h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 2 h))}{h}$

Etapa 4.1.8.6

Fatore $h$ de $- h^{2} - 2 x h + 2 h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.6.1

Fatore $h$ de $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) - 2 x h + 2 h))}{h}$

Etapa 4.1.8.6.2

Fatore $h$ de $- 2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 2 h))}{h}$

Etapa 4.1.8.6.3

Fatore $h$ de $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Etapa 4.1.8.6.4

Fatore $h$ de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Etapa 4.1.8.6.5

Fatore $h$ de $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x + 2)))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 \cdot (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

Etapa 4.1.9

Multiplique $0.1$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $0.3 (- h - 2 x + 2)$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h - 2 x + 2)$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h) + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 2$ por $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.3 \cdot 2$

Etapa 4.3.3

Multiplique $0.3$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.6$

Etapa 4.4

Reordene $- 0.3 h$ e $- 0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.6 x - 0.3 h + 0.6$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $0.6 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Etapa 5.3

Mova o termo $0.3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 0.6$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $0.6$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + 0.6$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 \cdot 0 + 0.6$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 0.3$ por $0$ .

$- 0.6 x + 0 + 0.6$

Etapa 7.2

Some $- 0.6 x$ e $0$ .

$- 0.6 x + 0.6$

Etapa 8