Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) = - 1$

Etapa 2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.6.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.6.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.6.3.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.6.3.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.8

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.8.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 2.8.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.8.3

Combine frações.

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Etapa 2.8.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 2.8.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 2.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.9

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Intervalo: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Etapa 6