Cálculo Exemplos

$f (x) = \log_{8} (\frac{x - 8}{x})$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log_{8} (\frac{x - 8}{x})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x - 8}{x} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Etapa 2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 2.3

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 8$

Etapa 2.4

Consolide as soluções.

$x = 0, 8$

Etapa 2.5

Encontre o domínio de $\frac{x - 8}{x}$ .

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Etapa 2.5.1

Defina o denominador em $\frac{x - 8}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.5.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 2.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 2.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.7.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.7.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{(- 2) - 8}{- 2} > 0$

Etapa 2.7.1.3

O lado esquerdo $5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.7.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.7.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) - 8}{4} > 0$

Etapa 2.7.2.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.7.3

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 2.7.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{(10) - 8}{10} > 0$

Etapa 2.7.3.3

O lado esquerdo $0.2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

Etapa 2.8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $x > 8$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x - 8}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (8, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < 0, x > 8}$

Etapa 5

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \neq 0}$

Etapa 6

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, 0) \cup (8, \infty), {x | x < 0, x > 8}$

Intervalo: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty), {y | y \neq 0}$

Etapa 7