Cálculo Exemplos

$32 e^{x} - e^{2 x}$

Etapa 1

Escreva $32 e^{x} - e^{2 x}$ como uma função.

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $32 e^{x} - e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 e^{x}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{2 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 2.1.1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Etapa 2.1.1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Etapa 2.1.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 e^{x}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.1.2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Etapa 2.1.2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Etapa 2.1.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Etapa 2.1.2.3.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Etapa 2.2.2.2

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$32 u - 4 u^{2} = 0$

Etapa 2.2.2.3

Fatore $4 u$ de $32 u - 4 u^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.3.1

Fatore $4 u$ de $32 u$ .

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

Etapa 2.2.2.3.2

Fatore $4 u$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

Etapa 2.2.2.3.3

Fatore $4 u$ de $4 u (8) + 4 u (- u)$ .

$4 u (8 - u) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.2.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.2.5

Defina $8 - e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.5.1

Defina $8 - e^{x}$ como igual a $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Etapa 2.2.5.2

Resolva $8 - e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- e^{x} = - 8$

Etapa 2.2.5.2.2

Divida cada termo em $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- e^{x} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.2.5.2.2.2.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 2.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.5.2.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Etapa 2.2.5.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Etapa 2.2.5.2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.5.2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Etapa 2.2.5.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Etapa 2.2.5.2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (8)$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (8)$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \ln (8))$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $32$ por $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

Etapa 5.2.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4$ de $32$ .

$f'' (0) = 28$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $28$ .

$28$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \ln (8))$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \ln (8))$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\ln (8), \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $32 e^{5} - 4 e^{10}$ .

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\ln (8), \infty)$ porque $f'' (5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\ln (8), \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, \ln (8))$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\ln (8), \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8