Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[0, 6]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{4 x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 x + 1 \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$4 x \geq - 1$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $4 x \geq - 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $4 x \geq - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 6]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x + 1$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 5.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $4$ por $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Etapa 5.5.2

Some $24$ e $1$ .

$u_{upper} = 25$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Etapa 6

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Etapa 8

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $25$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.6

Multiplique $2$ por $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 10.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Etapa 10.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Etapa 10.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Etapa 10.2.10

Subtraia $2$ de $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Etapa 10.2.11

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Etapa 10.2.12

Multiplique $4$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Etapa 10.2.13

Cancele o fator comum de $248$ e $12$ .

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Etapa 10.2.13.1

Fatore $4$ de $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Etapa 10.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.13.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Etapa 10.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Etapa 10.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Etapa 11

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Etapa 11.2

Some $6$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Etapa 12.1.2

Fatore $2$ de $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Etapa 12.1.3

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Etapa 12.1.4

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Etapa 12.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Etapa 13