Cálculo Exemplos

$y = x^{4 \cos (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{4 \cos (x)}$ como $e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{4 \cos (x)})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{4 \cos (x)})$ movendo $4 \cos (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{4 \cos (x) \ln (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 \cos (x) \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 \cos (x) \ln (x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (x) \ln (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{4 \cos (x) \ln (x)} (4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Etapa 3.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$4 \cdot e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 6

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 7

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Etapa 8.2

Combine os termos.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{\cos (x)}{x}$ e $4$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{x} e^{4 \cos (x) \ln (x)} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Etapa 8.2.2

Combine $\frac{\cos (x) \cdot 4}{x}$ e $e^{4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Etapa 8.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Etapa 8.2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$- 4 e^{4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{4 \cos (x) e^{4 \cos (x) \ln (x)}}{x}$