Cálculo Exemplos

${(x + 1)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(x + 1)}^{3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$4 {(x + 1)}^{3} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 1)}^{3}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 {(x + 1)}^{3}$ .

$4 {(x + 1)}^{3}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 {(x + 1)}^{3} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 {(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $4 {(x + 1)}^{3} = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $4 {(x + 1)}^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 {(x + 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(x + 1)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida ${(x + 1)}^{3}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{3} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie ${(x + 1)}^{4}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${((- 1) + 1)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$0^{4}$

Etapa 4.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- 1, 0)$

Etapa 5