Cálculo Exemplos

${(x^{3} - 8)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{3} - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 8$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

Etapa 1.1.2.4.3

Reordene os fatores de $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina ${(x^{3} - 8)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina ${(x^{3} - 8)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.1.4

Aplique a regra do produto a $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.3

Defina ${(x - 2)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Defina ${(x - 2)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.3.2

Resolva ${(x - 2)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2.3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4.2.4

Defina ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1

Defina ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Etapa 2.4.2.4.2

Resolva ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.4.2.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.4.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 2.4.2.4.2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.4.2.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.2.4.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.4.2.4.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.4.2.4.2.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 2.4.2.4.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.4.2.4.2.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2.4.2.4.2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2.4.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie ${(x^{3} - 8)}^{4}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(0 - 8)}^{4}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

${(- 8)}^{4}$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $- 8$ à potência de $4$ .

$4096$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

${(8 - 8)}^{4}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$0^{4}$

Etapa 4.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 4096), (2, 0)$

Etapa 5