Cálculo Exemplos

$3^{x} \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$3^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) (3^{x} \ln (3))$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $3^{x}$ de $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $3^{x}$ de $3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3)) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $3^{x}$ de $3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3))$ .

$3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Etapa 2.4

Defina $3^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3^{x}$ como igual a $0$ .

$3^{x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $3^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.5

Divida $\ln (3)$ por $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.6

Separe as frações.

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 2.5.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 2.5.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0$

Etapa 2.5.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\ln (3) \tan (x) = - 1$

Etapa 2.5.2.11

Divida cada termo em $\ln (3) \tan (x) = - 1$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.11.1

Divida cada termo em $\ln (3) \tan (x) = - 1$ por $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Etapa 2.5.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.11.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 2.5.2.11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Etapa 2.5.2.11.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Etapa 2.5.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.11.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (x) = - \frac{1}{\ln (3)}$

Etapa 2.5.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$

Etapa 2.5.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.13.1

Avalie $\arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$ .

$x = - 0.73844341$

Etapa 2.5.2.14

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 0.73844341 - (3.14159265)$

Etapa 2.5.2.15

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.5.2.15.1

Some $2 π$ a $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.73844341 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 2.5.2.15.2

O ângulo resultante de $2.40314923$ é positivo e coterminal com $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = 2.40314923$

Etapa 2.5.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 2.5.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.5.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.5.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.5.2.17

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.5.2.17.1

Some $π$ com $- 0.73844341$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.73844341 + π$

Etapa 2.5.2.17.2

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 0.73844341$

Etapa 2.5.2.17.3

Subtraia $0.73844341$ de $3.14159265$ .

$2.40314923$

Etapa 2.5.2.17.4

Liste os novos ângulos.

$x = 2.40314923$

Etapa 2.5.2.18

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $3^{x} \sin (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2.40314923$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2.40314923$ por $x$ .

$3^{2.40314923} \sin (2.40314923)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $3$ à potência de $2.40314923$ .

$14.01501538 \sin (2.40314923)$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $14.01501538$ por $\sin (2.40314923)$ .

$9.43403393$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 5.54474188$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $5.54474188$ por $x$ .

$3^{5.54474188} \sin (5.54474188)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $5.54474188$ .

$442.09357916 \sin (5.54474188)$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $442.09357916$ por $\sin (5.54474188)$ .

$- 297.58981445$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 2.40314923 + 2 π$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $2.40314923 + 2 π$ por $x$ .

$3^{2.40314923 + 2 π} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Some $2.40314923$ e $2 π$ .

$3^{8.68633454} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Etapa 4.3.2.2

Eleve $3$ à potência de $8.68633454$ .

$13945.52395695 \sin (2.40314923 + 2 π)$

Etapa 4.3.2.3

Some $2.40314923$ e $2 π$ .

$13945.52395695 \sin (8.68633454)$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $13945.52395695$ por $\sin (8.68633454)$ .

$9387.25664074$

Etapa 4.4

Avalie em $x = 2.40314923 + 3 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua $2.40314923 + 3 π$ por $x$ .

$3^{2.40314923 + 3 π} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Etapa 4.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Some $2.40314923$ e $3 π$ .

$3^{11.82792719} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Etapa 4.4.2.2

Eleve $3$ à potência de $11.82792719$ .

$439901.52220938 \sin (2.40314923 + 3 π)$

Etapa 4.4.2.3

Some $2.40314923$ e $3 π$ .

$439901.52220938 \sin (11.82792719)$

Etapa 4.4.2.4

Multiplique $439901.52220938$ por $\sin (11.82792719)$ .

$- 296114.25848054$

Etapa 4.5

Avalie em $x = 2.40314923 + 4 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua $2.40314923 + 4 π$ por $x$ .

$3^{2.40314923 + 4 π} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Etapa 4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Some $2.40314923$ e $4 π$ .

$3^{14.96951985} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Etapa 4.5.2.2

Eleve $3$ à potência de $14.96951985$ .

$13876377.0970174 \sin (2.40314923 + 4 π)$

Etapa 4.5.2.3

Some $2.40314923$ e $4 π$ .

$13876377.0970174 \sin (14.96951985)$

Etapa 4.5.2.4

Multiplique $13876377.0970174$ por $\sin (14.96951985)$ .

$9340711.28884108$

Etapa 4.6

Liste todos os pontos.

$(2.40314923, 9.43403393), (5.54474188, - 297.58981445), (2.40314923 + 2 π, 9387.25664074), (2.40314923 + 3 π, - 296114.25848054), (2.40314923 + 4 π, 9340711.28884108)$

Etapa 5