Cálculo Exemplos

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 1.1.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

Etapa 1.1.6

Some $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ e $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Etapa 2.2

Fatore $t$ de $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $t$ de $4 t^{3}$ .

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $t$ de $3 t^{2}$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $t$ de $2 t$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $t$ de $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ .

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore $t$ de $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ .

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 2.5

Defina $4 t^{2} + 3 t + 2$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $4 t^{2} + 3 t + 2$ como igual a $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = 3$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $t$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.4.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.4.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

Etapa 2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

Etapa 2.5.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.5.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.5.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

Etapa 2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

Etapa 2.5.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ verdadeiro.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $t = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $t$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 1)$

Etapa 5