Cálculo Exemplos

$e^{x} - x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{x} - 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$e^{x} = 1$

Etapa 2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Etapa 2.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Etapa 2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Etapa 2.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{x} - x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$e^{0} - (0)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 - (0)$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $0$ de $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 1)$

Etapa 5