Cálculo Exemplos

$x^{2} - 32 \sqrt{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 32 \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.2.10

Combine $- 32$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.12

Fatore $2$ de $- 32$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 16 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 16$

Etapa 2.4.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3.1.3

Simplifique.

$2^{\frac{2}{3}} x = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.3.1.4

Reordene os fatores em $2^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ por $2^{\frac{2}{3}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}}$ por $2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.1

Use a potência da regra do quociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{16}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.4.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.2.1

Divida $16$ por $2$ .

$x = 8^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.4.3.2.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2.4.4.3.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 2.4.4.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$x = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 2.4.4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$x = 2^{2}$

Etapa 2.4.4.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = 4$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$2 x - \frac{16}{\sqrt{x}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{16}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 3.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $x^{2} - 32 \sqrt{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{2} - 32 \sqrt{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16 - 32 \sqrt{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$16 - 32 \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$16 - 32 \cdot 2$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 32$ por $2$ .

$16 - 64$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $64$ de $16$ .

$- 48$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} - 32 \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 32 \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$0 - 32 \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0 - 32 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 32$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(4, - 48), (0, 0)$

Etapa 5