Cálculo Exemplos

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.1.3

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.4.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

Etapa 1.1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.1.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $2 x + 2 y + 2$ e $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0$

Etapa 1.1.5.3

Some $2 x + 2 y + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 2 y + 2$ .

$2 x + 2 y + 2$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x + 2 y + 2 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x + 2 y + 2 = 0$

Etapa 2.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x + 2 = - 2 y$

Etapa 2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 2 y - 2$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x = - 2 y - 2$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 2 y - 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.3.1.1.2.4

Divida $- y$ por $1$ .

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

Etapa 2.3.3.1.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$x = - y - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - y - 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- y - 1$ por $x$ .

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva ${(- y - 1)}^{2}$ como $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.2

Expanda $(- y - 1) (- y - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1.3.1.2.1

Mova $y$ .

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.4

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.5

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 4.1.2.1.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.6

Multiplique $- 1 (- y)$ .

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Etapa 4.1.2.1.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.6.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Some $y$ e $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.8

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1.8.1

Mova $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.8.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.1.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.1.2.2.1

Combine os termos opostos em $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ .

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Etapa 4.1.2.2.1.1

Subtraia $2 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.2.1.2

Some $y^{2} + 2 y + 1$ e $0$ .

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.2.1.3

Subtraia $2 y$ de $2 y$ .

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.2.1.4

Some $y^{2}$ e $0$ .

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $- 2 y$ e $4 y$ .

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

Etapa 4.1.2.2.4

Some $- 1$ e $7$ .

$y^{2} + 2 y + 6$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

Etapa 5